Теорема об укладке графа на сфере

Граф укладывается на сфере тогда и только тогда, когда он планарен.

$\Large{\implies}$ **(Необходимость)** Пусть дано $\Gamma$ — правильное изображение графа $G$ на сфере. Построим правильное изображение $G$ на плоскости, используя стереографическую проекцию. На сфере выберем точку $N$, не принадлежащую изображению. В противоположной к точке $N$ точке $S$ проведем к сфере касательную плоскость $\pi$. Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через $N$ не параллельно $\pi$. Она имеет ровно одну общую точку со сферой, отличную от $N$, и ровно одну общую точку с плоскостью. Определим функцию $f$, которая переводит любую точку $X$ сферы, не совпадающую с $N$, в точку $Y$ плоскости $\pi$, лежащую на прямой $NX$. Функция $f: S \setminus \{N\} \to \pi$ является непрерывной биекцией (разные точки сферы переходят в разные точки плоскости, и для любой точки $Y \in \pi$ можно найти ее прообраз, проведя прямую $YN$). Так как $f$ непрерывна, то $f$-образ кривой — кривая, а значит $f(\Gamma)$ — изображение графа $G$. Проверим, что изображение $f(\Gamma)$ графа $G$ — правильное. Пусть точка $Y$ принадлежит двум ребрам $f(\Gamma)$. Тогда точка $X = f^{-1}(Y)$ принадлежит двум соответствующим ребрам изображения $\Gamma$. Так как $\Gamma$ — правильное, то $X$ — вершина в $\Gamma$. Следовательно, $Y = f(X)$ — вершина в $f(\Gamma)$. Таким образом, $f(\Gamma)$ — правильное изображение. Мы построили правильное изображение графа $G$ на плоскости, значит $G$ — планарный граф. $\Large{\impliedby}$ **(Достаточность)** Пусть граф $G$ планарен, то есть существует его правильное изображение $\bar{\Gamma}$ на некоторой плоскости. На эту плоскость «поставим» сферу. За точку $N$ возьмем точку сферы, противоположную точке касания с плоскостью. Используя обратную стереографическую проекцию (которая также является биекцией), как описано выше, получим, что $f^{-1}(\bar{\Gamma})$ будет правильным изображением графа $G$ на сфере. $\square$